【例題あり】ベルヌーイの定理の意味や計算方法についてわかりやすく解説【公務員試験(農業土木)】

【例題あり】ベルヌーイの定理の意味や計算方法についてわかりやすく解説公務員
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ベルヌーイの定理ってどんな公式?

公務員試験での出題されやすい問題と一緒に解説してほしい!

今回の記事ではベルヌーイの定理について分かりやすく解説するよ。

大学の勉強の復習や、公務員試験対策として活用してね!

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ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理とは、理想流体のエネルギーの総和が流線上で常に一定になることを示した定理です。

一般的に次の式で表されます。

ベルヌーイの定理

p [Pa]:流体の圧力、ρ [kg/m3]:流体の密度 、 v [m/s]:流速、 z [m]:高さ、重力加速度 g [m/s2]

この式は管路におけるエネルギーの総和を表しており、それぞれ

圧力エネルギー」+「速度エネルギー」+「位置エネルギー」=一定

であることを意味しています。

また、両辺をρgで割った値を水頭といい、それぞれ

「圧力水頭」+「速度水頭」+「位置水頭」=一定であることを表します。

ベルヌーイの定理の意味ですが、水位が一定の場合流速が大きくなるほど圧力は小さくなることを表しています。

管内を流れる流体の速度は、

Q [m3/s]:流量、A [m2]:管の断面積

で表されることから、管の断面積が小さいほど圧力は小さくなることを表した定理とも言い換えることができます。

ここでポイントなのが圧力の方向です!

ベルヌーイの定理で取り扱う圧力は静圧といって流れ方向に対して垂直にかかる圧力のことを示しています。

また、すべての物体には位置エネルギーを持っているため、菅の高さが異なる場合は高さの値であるZを付け足す必要があります。

これらの概念を理解できていないとベルヌーイの定理を活用できないため、しっかりと覚えておきましょう!

流れに対して並行にかかる圧力の合計値は動圧といい、同一管路内で一定値になっているよ。

例題

早速練習問題に移っていきましょう。

問題)図のように内径 0.3 mの管が縮小し、その後内径 0.5 mに拡大している管水路がある。A点の平均流速 5.0 m/s, 圧力水頭 3.0 mのとき、C点の圧力水頭を求めよ。ただし、C点はA点よりも 0.5 m高い位置にある。

ベルヌーイの定理_例題

記事前半に登場した式を活用すれば解ける問題だから、分からない場合はいったん前半の内容を見返してみよう。

解答

① A地点の全水頭を求める

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: image-16.png

より、

位置水頭 :0 [m]

圧力水頭:3.0 [m] (問題文より)

速度水頭:5.0^2/2×9.8 =1.28 [m]

全水頭:0+3.0+1.28=4.28 [m]

② C地点の全水頭を求める

位置水頭 :0.5 [m]

圧力水頭:x [m] (求めたい値)

速度水頭:以下の計算より導出 

③ C地点の流速を導出する

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: image-15.png

より、

円柱の断面積はπr^2であるため、

④ A地点とC地点の全水頭を比較する

4.28 = 0.5 + x + 1.8

x = 0.98 [m]

まとめ

ベルヌーイの定理は以下の式で表されます。

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水理学における重要な式であるため、暗記することを強くお勧めします!

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